高校化学では、溶液の沸点上昇 $\Delta T_b = K_b \cdot m$、凝固点降下 $\Delta T_f = K_f \cdot m$、浸透圧 $\pi = MRT$ を個別の公式として覚え、計算に使います。
これらの性質は「溶質の種類に関係なく、溶質の粒子数だけで決まる」ことから束一的性質（colligative properties）と呼ばれますが、なぜ溶質の種類によらないのかは、高校の範囲では説明されません。
大学化学では、ラウールの法則という一つの出発点から、沸点上昇・凝固点降下・浸透圧の公式をすべて導出できます。
ラウールの法則は「溶質が溶媒の蒸発を妨げる」という単純な描像に基づいており、この蒸気圧降下から残りの束一的性質が数学的に導かれます。
三つの公式を個別に暗記する必要がなくなり、すべてが一つの原理のもとに統一されます。
高校化学では、不揮発性の溶質を溶媒に溶かしたとき、溶液に以下の性質が現れることを学びます。
これらを総称して束一的性質と呼びます。「束一的」とは、溶質の種類に関係なく、溶質粒子の数（濃度）だけで性質が決まる、という意味です。 高校ではこれらの公式を次のように使います。
高校の計算問題では、$K_b$ や $K_f$ の値は問題文に与えられ、それを使って $\Delta T$ を求めたり、$\Delta T$ から分子量を逆算したりします。 しかし、「なぜ沸点上昇度が質量モル濃度に比例するのか」「$K_b$ という定数はどこから来るのか」「なぜ溶質の種類によらないのか」という問いには、高校の範囲では答えることができません。
次のセクションでは、大学の視点を導入することで、これらの「なぜ」にすべて答えられるようになることを確認します。
大学化学では、束一的性質の出発点としてラウールの法則（Raoult's law）を導入します。 ラウールの法則は「溶質が溶媒の蒸気圧をどれだけ下げるか」を定量的に記述する法則であり、ここから沸点上昇・凝固点降下・浸透圧の公式がすべて導出されます。
この記事を読み終えると、以下のことができるようになります。
1. ラウールの法則の内容と物理的意味を説明できる
2. ラウールの法則から沸点上昇の公式 $\Delta T_b = K_b \cdot m$ を導出し、$K_b$ の具体的な式を得ることができる
3. 同様に凝固点降下の公式 $\Delta T_f = K_f \cdot m$ を導出できる
4. 浸透圧の公式 $\pi = MRT$ を導出できる
5. 束一的性質を利用して未知物質の分子量を決定する計算ができる
導出の出発点となるラウールの法則を、次のセクションで導入します。
純溶媒の液面では、溶媒分子が液面全体から蒸発しています。 ここに不揮発性の溶質（蒸発しにくい物質）を溶かすと、液面の一部を溶質分子が占めるようになります。 すると、液面から蒸発できる溶媒分子の数が減り、蒸気圧が下がります。
この描像から重要なことがわかります。蒸気圧が下がる程度は、液面を溶質がどれだけ占めるか ── つまり溶質のモル分率── だけで決まり、溶質が具体的に何であるかには依存しません。 砂糖を溶かしても尿素を溶かしても、同じモル分率であれば蒸気圧は同じだけ下がります。 これが束一的性質が「溶質の種類に依存しない」理由の核心です。
フランスの化学者ラウール（François-Marie Raoult）は、1880年代にこの関係を実験的に確かめ、定量的な法則として定式化しました。
$$P_1 = x_1 P_1^*$$
$P_1$：溶液中の溶媒の蒸気圧（Pa）、$x_1$：溶媒のモル分率（無次元）、$P_1^*$：純溶媒の蒸気圧（Pa）
この法則は実験から得られた経験則です。希薄溶液（溶質の濃度が十分に低い場合）では、溶質の種類によらず精度よく成り立ちます。 溶媒のモル分率 $x_1$ は常に $1$ 以下なので、$P_1 \leq P_1^*$ となり、溶液の蒸気圧は必ず純溶媒より低くなります。
溶媒のモル分率 $x_1$ と溶質のモル分率 $x_2$ の間には $x_1 + x_2 = 1$（二成分系）が成り立つので、$x_1 = 1 - x_2$ です。これをラウールの法則に代入すると、蒸気圧降下の大きさが求められます。
$$\Delta P = P_1^* - P_1 = P_1^* - (1 - x_2)P_1^* = x_2 P_1^*$$
$$\Delta P = x_2 P_1^*$$
$\Delta P$：蒸気圧降下の大きさ（Pa）、$x_2$：溶質のモル分率、$P_1^*$：純溶媒の蒸気圧
蒸気圧降下 $\Delta P$ は溶質のモル分率 $x_2$ に比例し、$P_1^*$ は溶媒の種類と温度だけで決まる量です。 したがって $\Delta P$ は溶質が何であるかによらず、溶質のモル分率だけで決まります。これが束一的性質の根拠です。
ラウールの法則 $P_1 = x_1 P_1^*$ は、蒸気圧が溶媒のモル分率だけで決まることを述べています。溶質が何であるかは式に現れません。
沸点上昇・凝固点降下・浸透圧は、いずれもこの蒸気圧降下を出発点として導出されます。出発点が溶質の種類に依存しないため、導出されるすべての性質も溶質の種類に依存しません。
ここまでで、ラウールの法則とそこから導かれる蒸気圧降下の式を得ました。 次のセクションでは、この蒸気圧降下から沸点上昇と凝固点降下の公式を導出します。
液体の沸点とは、蒸気圧が外圧（通常は 1 atm）に等しくなる温度です。 高校でもこの定義を学びます。
セクション3で示したように、溶質を加えると溶媒の蒸気圧が下がります。 純溶媒なら温度 $T_b^*$ で蒸気圧が外圧に達するのに対し、溶液ではその温度での蒸気圧が外圧より低くなっています。 蒸気圧を外圧まで上げるには、さらに温度を上げなければなりません。 この追加の温度が沸点上昇 $\Delta T_b$ です。
希薄溶液では、溶質のモル分率 $x_2$ が十分に小さいとします。溶質の物質量を $n_2$、溶媒の物質量を $n_1$ とすると、
$$x_2 = \frac{n_2}{n_1 + n_2} \approx \frac{n_2}{n_1}$$
ここで $n_2 \ll n_1$ の近似を使いました。溶媒の物質量 $n_1$ は、溶媒の質量 $w_1$（kg）とモル質量 $M_1$（kg/mol）を使って $n_1 = w_1 / M_1$ と書けます。したがって、
$$x_2 \approx \frac{n_2}{w_1 / M_1} = \frac{n_2 M_1}{w_1} = M_1 \cdot m$$
ここで $m = n_2 / w_1$ は質量モル濃度（溶媒 1 kg あたりの溶質の物質量、単位 mol/kg）です。 つまり、希薄溶液では $x_2 \approx M_1 \cdot m$ という関係があります。
出発点：蒸気圧降下 $\Delta P = x_2 P_1^*$ と、蒸気圧の温度依存性を組み合わせます。
ステップ1：蒸気圧の温度依存性は、クラウジウス-クラペイロンの式で記述されます。沸点 $T_b^*$ 付近の微小な蒸気圧変化 $\Delta P$ と温度変化 $\Delta T_b$ の関係は次の通りです。
$$\Delta P \approx \frac{dP_1^*}{dT}\bigg|_{T_b^*} \cdot \Delta T_b$$
ステップ2：クラウジウス-クラペイロンの式から、沸点付近での蒸気圧の温度微分は次のように表されます。
$$\frac{dP_1^*}{dT}\bigg|_{T_b^*} = \frac{\Delta_{\text{vap}}H \cdot P_1^*}{R(T_b^*)^2}$$
ここで $\Delta_{\text{vap}}H$ は溶媒のモル蒸発エンタルピー（J/mol）です。
ステップ3：$\Delta P = x_2 P_1^*$ をステップ1に代入すると、
$$x_2 P_1^* = \frac{\Delta_{\text{vap}}H \cdot P_1^*}{R(T_b^*)^2} \cdot \Delta T_b$$
両辺の $P_1^*$ が消去され、次の式が得られます。
$$\Delta T_b = \frac{R(T_b^*)^2}{\Delta_{\text{vap}}H} \cdot x_2$$
ステップ4：希薄溶液の近似 $x_2 \approx M_1 \cdot m$ を代入すると、
$$\Delta T_b = \frac{R(T_b^*)^2 M_1}{\Delta_{\text{vap}}H} \cdot m$$
この係数部分をまとめて $K_b$ と定義すれば、$\Delta T_b = K_b \cdot m$ が得られます。
$$\Delta T_b = K_b \cdot m, \quad K_b = \frac{R(T_b^*)^2 M_1}{\Delta_{\text{vap}}H}$$
$\Delta T_b$：沸点上昇度（K）、$K_b$：モル沸点上昇定数（K$\cdot$kg/mol）、$m$：質量モル濃度（mol/kg）、$R$：気体定数、$T_b^*$：純溶媒の沸点（K）、$M_1$：溶媒のモル質量（kg/mol）、$\Delta_{\text{vap}}H$：溶媒のモル蒸発エンタルピー（J/mol）
$K_b$ の式を見ると、$R$, $T_b^*$, $M_1$, $\Delta_{\text{vap}}H$ はすべて溶媒の性質だけで決まる量です。 溶質に関する情報は一切含まれていません。 これが、沸点上昇が溶質の種類によらず質量モル濃度だけで決まる理由です。 高校で「与えられた定数」として扱っていた $K_b$ が、溶媒の物性から計算できる量であることがわかります。
水の場合、$T_b^* = 373.15 \; \text{K}$、$M_1 = 0.01802 \; \text{kg/mol}$、$\Delta_{\text{vap}}H = 40.7 \times 10^3 \; \text{J/mol}$ です。これらを代入すると、
$$K_b = \frac{8.314 \times (373.15)^2 \times 0.01802}{40.7 \times 10^3} = \frac{8.314 \times 139200 \times 0.01802}{40700} = \frac{20860}{40700} = 0.512 \; \text{K} \cdot \text{kg/mol}$$
高校の問題集で「水のモル沸点上昇は $0.52 \; \text{K} \cdot \text{kg/mol}$」と書かれている値が、ここで導出されました。 この値は実測値ではなく、水の沸点・モル質量・蒸発エンタルピーから計算で得られる導出値です。
凝固点降下の導出も、沸点上昇とまったく同じ論理構造を持っています。 凝固点とは、液体と固体の蒸気圧が等しくなる温度です。 溶質を加えると液体側の蒸気圧が下がるため、固体の蒸気圧と一致する温度がより低い方にずれます。
沸点上昇の導出で $\Delta_{\text{vap}}H$（蒸発エンタルピー）を $\Delta_{\text{fus}}H$（融解エンタルピー）に、$T_b^*$ を $T_f^*$（純溶媒の凝固点）に置き換えるだけで、凝固点降下の公式が得られます。
$$\Delta T_f = K_f \cdot m, \quad K_f = \frac{R(T_f^*)^2 M_1}{\Delta_{\text{fus}}H}$$
$\Delta T_f$：凝固点降下度（K）、$K_f$：モル凝固点降下定数（K$\cdot$kg/mol）、$T_f^*$：純溶媒の凝固点（K）、$\Delta_{\text{fus}}H$：溶媒のモル融解エンタルピー（J/mol）
沸点上昇の公式と比べると、蒸発エンタルピー $\Delta_{\text{vap}}H$ が融解エンタルピー $\Delta_{\text{fus}}H$ に変わっただけです。 一般に $\Delta_{\text{fus}}H \ll \Delta_{\text{vap}}H$（融解は蒸発よりはるかに小さいエネルギーで起こる）なので、$K_f > K_b$ となり、凝固点降下の方が沸点上昇より大きくなります。
水の場合、$T_f^* = 273.15 \; \text{K}$、$M_1 = 0.01802 \; \text{kg/mol}$、$\Delta_{\text{fus}}H = 6.01 \times 10^3 \; \text{J/mol}$ です。
$$K_f = \frac{8.314 \times (273.15)^2 \times 0.01802}{6.01 \times 10^3} = \frac{8.314 \times 74610 \times 0.01802}{6010} = \frac{11180}{6010} = 1.86 \; \text{K} \cdot \text{kg/mol}$$
高校で暗記する「水のモル凝固点降下は $1.85 \; \text{K} \cdot \text{kg/mol}$」という値がここで得られます（端数の違いは有効数字の処理によるものです）。 $K_f / K_b = 1.86 / 0.512 = 3.6$ であり、凝固点降下は沸点上昇の約3.6倍の大きさです。 この比は $\Delta_{\text{vap}}H / \Delta_{\text{fus}}H = 40700 / 6010 = 6.8$ と $(T_f^* / T_b^*)^2 = (273/373)^2 = 0.54$ の積（$6.8 \times 0.54 = 3.7$）に対応しています。
よくある疑問：沸点上昇と凝固点降下は同じ原理（蒸気圧降下）から導かれるのに、なぜ凝固点降下の方が大きいのか。
理由：$K_f$ と $K_b$ の式の違いは、分母のエンタルピーだけです。 融解エンタルピー $\Delta_{\text{fus}}H$ は蒸発エンタルピー $\Delta_{\text{vap}}H$ よりはるかに小さい値です（水の場合、約 6 kJ/mol 対 約 41 kJ/mol）。 分母が小さいほど $K$ が大きくなるため、同じ濃度の溶液では凝固点降下の方が大きくなります。 物理的には、固液の相転移（融解）は液気の相転移（蒸発）よりエネルギー変化が小さいため、蒸気圧降下の影響を受けやすいのです。
ここまでで、ラウールの法則から沸点上昇と凝固点降下の公式を導出しました。 どちらの場合も、蒸気圧降下が相転移温度のずれを引き起こすという同じ論理構造です。 次のセクションでは、蒸気圧降下から浸透圧の公式を導出します。
半透膜（溶媒分子は通すが溶質分子は通さない膜）を挟んで、片側に溶液、もう片側に純溶媒を置くことを考えます。
セクション3で示したように、溶液側の溶媒の蒸気圧は純溶媒側より低くなっています。 別の言い方をすれば、溶液側の溶媒は純溶媒側の溶媒より「逃げにくい状態」にあります。 この蒸気圧の差を解消するように、溶媒分子は純溶媒側から溶液側へ半透膜を通って移動します。 これが浸透です。
浸透を止めるためには、溶液側に圧力をかけて、溶液中の溶媒の蒸気圧を純溶媒の蒸気圧まで押し上げる必要があります。 この圧力が浸透圧 $\pi$ です。
浸透が平衡に達する条件は、半透膜の両側で溶媒の蒸気圧（より正確には化学ポテンシャル）が等しくなることです。 溶液側の溶媒の蒸気圧は、ラウールの法則から $P_1 = x_1 P_1^*$ です。 これを純溶媒の蒸気圧 $P_1^*$ に戻すために、溶液に圧力 $\pi$ を加えます。
出発点：溶液に圧力 $\pi$ をかけたとき、溶媒の蒸気圧が $P_1^*$ に戻る条件を求めます。
ステップ1：液体に圧力をかけると、その液体の蒸気圧はわずかに上昇します。圧力 $\pi$ による蒸気圧の増加は、液体のモル体積を $V_1^*$（溶媒 1 mol の体積、単位 m${}^3$/mol）として次のように表されます。
$$\Delta P_{\text{press}} = \frac{V_1^* \cdot P_1^*}{RT} \cdot \pi$$
ステップ2：浸透圧平衡の条件は、ラウールの法則による蒸気圧降下 $\Delta P = x_2 P_1^*$ と、加圧による蒸気圧上昇 $\Delta P_{\text{press}}$ がつり合うことです。
$$x_2 P_1^* = \frac{V_1^* \cdot P_1^*}{RT} \cdot \pi$$
両辺の $P_1^*$ が消去され、
$$x_2 = \frac{V_1^*}{RT} \cdot \pi$$
ステップ3：希薄溶液では $x_2 \approx n_2 / n_1$ です。また、溶液全体の体積 $V$ は $V \approx n_1 V_1^*$（溶媒の体積で近似できる）と書けるので、$n_1 V_1^* \approx V$ です。代入すると、
$$\frac{n_2}{n_1} = \frac{V_1^*}{RT} \cdot \pi$$
両辺に $n_1$ を掛け、$n_1 V_1^* = V$ を使うと、
$$n_2 = \frac{V}{RT} \cdot \pi$$
整理して $\pi V = n_2 RT$ を得ます。
$$\pi V = n_2 RT \quad \Longleftrightarrow \quad \pi = \frac{n_2}{V}RT = c \, RT$$
$\pi$：浸透圧（Pa）、$V$：溶液の体積（m${}^3$）、$n_2$：溶質の物質量（mol）、$R$：気体定数、$T$：絶対温度（K）、$c = n_2 / V$：モル濃度（mol/m${}^3$）
この式は理想気体の状態方程式 $PV = nRT$ とまったく同じ形をしています。 オランダの化学者ファントホッフ（Jacobus Henricus van 't Hoff）は、この類似性に注目して浸透圧の式を提案し、1901年に第1回ノーベル化学賞を受賞しました。 ただし、形が同じなのは数学的な結果であり、溶質分子が気体のように振る舞っているわけではありません。 上の導出で見たように、この式はラウールの法則と希薄溶液の近似から得られます。
大学の熱力学では、束一的性質のすべてを化学ポテンシャル $\mu$ という量を使ってより厳密に導出します。 化学ポテンシャルとは、物質1 mol あたりのギブズエネルギーのことであり、物質が「どれだけ安定か」を表す量です （📖 C-8-2 ギブズエネルギーで詳しく扱います）。
溶質を加えると、溶媒の化学ポテンシャルが低下します。 この低下が蒸気圧降下の熱力学的な意味であり、沸点上昇・凝固点降下・浸透圧はすべて「低下した化学ポテンシャルを元に戻すために必要な条件変更」として統一的に理解できます。 この記事で行った導出は、化学ポテンシャルによる厳密な導出の本質を、蒸気圧という測定可能な量で表現したものです。
ここまでで、ラウールの法則という一つの出発点から、沸点上昇・凝固点降下・浸透圧の三つの公式をすべて導出しました。 次のセクションでは、これらの公式を使って分子量を決定する応用例を見ます。
束一的性質の公式はいずれも溶質の物質量 $n_2$ を含んでいます。 $n_2 = w_2 / M_2$（$w_2$：溶質の質量、$M_2$：溶質のモル質量）なので、$\Delta T_b$, $\Delta T_f$, $\pi$ の実測値から $M_2$ を逆算することができます。 これは、未知物質の分子量を実験的に決定する方法として、古くから使われています。
未知の有機化合物 3.00 g を水 100 g に溶かしたところ、凝固点が $-0.310 \; {}^\circ\text{C}$ になりました。 水のモル凝固点降下定数 $K_f = 1.86 \; \text{K} \cdot \text{kg/mol}$ として、この化合物の分子量を求めます。
凝固点降下度は $\Delta T_f = 0 - (-0.310) = 0.310 \; \text{K}$ です。 $\Delta T_f = K_f \cdot m$ より、
$$m = \frac{\Delta T_f}{K_f} = \frac{0.310}{1.86} = 0.167 \; \text{mol/kg}$$
溶媒（水）の質量は $w_1 = 100 \; \text{g} = 0.100 \; \text{kg}$ なので、溶質の物質量は、
$$n_2 = m \times w_1 = 0.167 \times 0.100 = 0.0167 \; \text{mol}$$
溶質の質量が $w_2 = 3.00 \; \text{g}$ なので、モル質量は、
$$M_2 = \frac{w_2}{n_2} = \frac{3.00}{0.0167} = 180 \; \text{g/mol}$$
分子量は 180 と求まります。これはグルコース $\text{C}_6\text{H}_{12}\text{O}_6$ の分子量（$12 \times 6 + 1 \times 12 + 16 \times 6 = 180$）に一致します。
ヘモグロビン 5.0 g を水に溶かして 250 mL の溶液を作ったところ、$25 \; {}^\circ\text{C}$ での浸透圧が $1.54 \times 10^2 \; \text{Pa}$ でした。 ヘモグロビンの分子量を求めます。
$\pi V = n_2 RT$ より、
$$n_2 = \frac{\pi V}{RT} = \frac{1.54 \times 10^2 \times 250 \times 10^{-6}}{8.314 \times 298} = \frac{3.85 \times 10^{-2}}{2478} = 1.55 \times 10^{-5} \; \text{mol}$$
$$M_2 = \frac{w_2}{n_2} = \frac{5.0}{1.55 \times 10^{-5}} = 3.2 \times 10^5 \; \text{g/mol}$$
分子量は約 $3.2 \times 10^5$（約 32 万）と求まります。 このように、浸透圧法は非常に大きな分子量を持つ高分子やタンパク質の分子量測定に特に有用です。 凝固点降下法では、高分子は同じ質量でも物質量が極めて小さいため $\Delta T_f$ が測定限界以下になってしまいます。 一方、浸透圧は非常に小さい濃度でも測定可能な大きさになるため、高分子の分子量測定に適しています。
水以外の溶媒でも $K_b$ が計算できることを確認します。 ベンゼン（$\text{C}_6\text{H}_6$）の場合、$T_b^* = 353.3 \; \text{K}$、$M_1 = 0.07811 \; \text{kg/mol}$、$\Delta_{\text{vap}}H = 30.7 \times 10^3 \; \text{J/mol}$ です。
$$K_b = \frac{R(T_b^*)^2 M_1}{\Delta_{\text{vap}}H} = \frac{8.314 \times (353.3)^2 \times 0.07811}{30.7 \times 10^3} = \frac{8.314 \times 124800 \times 0.07811}{30700} = \frac{81050}{30700} = 2.64 \; \text{K} \cdot \text{kg/mol}$$
ベンゼンのモル沸点上昇定数の文献値は $2.53 \; \text{K} \cdot \text{kg/mol}$ であり、おおむね一致しています。 水（$K_b = 0.512$）よりベンゼン（$K_b = 2.64$）の方が $K_b$ が大きい理由は、ベンゼンの方がモル質量 $M_1$ が大きく蒸発エンタルピーが小さいためです。
注意すべき点：NaCl のような電解質を水に溶かすと、$\text{Na}^+$ と $\text{Cl}^-$ に電離するため、溶質粒子の数は溶かした物質量の2倍になります。
正しい扱い：束一的性質は「溶質粒子の総数」で決まります。 NaCl 1 mol を完全電離すると 2 mol の粒子（$\text{Na}^+$ 1 mol + $\text{Cl}^-$ 1 mol）が生じるので、 凝固点降下は非電解質の約2倍になります。 一般に、電離度 $\alpha$ で $\nu$ 個のイオンに電離する電解質では、見かけの粒子数は $[1 + (\nu - 1)\alpha]$ 倍になります。 高校でもこの補正は扱われます。
Q1. ラウールの法則 $P_1 = x_1 P_1^*$ において、$x_1$, $P_1^*$ はそれぞれ何を表しますか。
Q2. 沸点上昇の公式 $\Delta T_b = K_b \cdot m$ において、$K_b$ の値が溶質の種類によらないのはなぜですか。
Q3. 水の $K_f$（$1.86 \; \text{K} \cdot \text{kg/mol}$）が $K_b$（$0.512 \; \text{K} \cdot \text{kg/mol}$）より大きいのはなぜですか。
Q4. 浸透圧の公式 $\pi V = n_2 RT$ が理想気体の状態方程式と同じ形をしている理由を、「溶質が気体のように振る舞う」以外の説明で述べてください。
純水の蒸気圧が $100 \; {}^\circ\text{C}$ で $1.013 \times 10^5 \; \text{Pa}$ であるとします。 グルコース（分子量 180）18.0 g を水 500 g に溶かした溶液について、$100 \; {}^\circ\text{C}$ での蒸気圧をラウールの法則を用いて求めてください。
グルコースの物質量：$n_2 = 18.0 / 180 = 0.100 \; \text{mol}$
水の物質量：$n_1 = 500 / 18.0 = 27.8 \; \text{mol}$
溶媒のモル分率：$x_1 = 27.8 / (27.8 + 0.100) = 27.8 / 27.9 = 0.9964$
$$P_1 = x_1 P_1^* = 0.9964 \times 1.013 \times 10^5 = 1.009 \times 10^5 \; \text{Pa}$$
蒸気圧降下：$\Delta P = 1.013 \times 10^5 - 1.009 \times 10^5 = 4.0 \times 10^2 \; \text{Pa}$
$x_2 = 0.100/27.9 = 0.00358$ なので、$\Delta P = x_2 P_1^* = 0.00358 \times 1.013 \times 10^5 = 363 \; \text{Pa}$ と求めることもできます。蒸気圧降下は非常に小さい値ですが、これが沸点を上昇させる原因になります。
未知の非電解質 6.00 g をベンゼン 80.0 g に溶かしたところ、沸点が $80.1 \; {}^\circ\text{C}$ から $80.76 \; {}^\circ\text{C}$ に上昇しました。 ベンゼンのモル沸点上昇定数 $K_b = 2.53 \; \text{K} \cdot \text{kg/mol}$ として、この物質の分子量を求めてください。
沸点上昇度：$\Delta T_b = 80.76 - 80.1 = 0.66 \; \text{K}$
$$m = \frac{\Delta T_b}{K_b} = \frac{0.66}{2.53} = 0.261 \; \text{mol/kg}$$
溶質の物質量：$n_2 = m \times w_1 = 0.261 \times 0.0800 = 0.0209 \; \text{mol}$
$$M_2 = \frac{w_2}{n_2} = \frac{6.00}{0.0209} = 287 \; \text{g/mol}$$
分子量は約 290 です。
溶媒の質量 $w_1$ は kg 単位で代入する必要があります（$80.0 \; \text{g} = 0.0800 \; \text{kg}$）。質量モル濃度 $m$ の定義は「溶媒 1 kg あたりの溶質の物質量」であるためです。
$27 \; {}^\circ\text{C}$ でグルコース（分子量 180）3.60 g を水に溶かして 200 mL の溶液を作りました。この溶液の浸透圧を求めてください。 $R = 8.314 \; \text{J/(mol} \cdot \text{K)}$ とします。
$n_2 = 3.60 / 180 = 0.0200 \; \text{mol}$、$V = 200 \; \text{mL} = 2.00 \times 10^{-4} \; \text{m}^3$、$T = 300 \; \text{K}$ です。
$$\pi = \frac{n_2 RT}{V} = \frac{0.0200 \times 8.314 \times 300}{2.00 \times 10^{-4}} = \frac{49.9}{2.00 \times 10^{-4}} = 2.49 \times 10^5 \; \text{Pa}$$
浸透圧は約 $2.5 \times 10^5 \; \text{Pa}$（約 2.5 atm）です。
浸透圧は比較的大きな値になります。濃度 $0.100 \; \text{mol/L}$ のグルコース水溶液でも約 2.5 atm の浸透圧が生じます。同じ溶液の沸点上昇は $\Delta T_b = 0.512 \times 0.100 \approx 0.05 \; \text{K}$ 程度であり、浸透圧の方がはるかに測定しやすいことがわかります。
ある溶媒 X の沸点は $61.2 \; {}^\circ\text{C}$、モル質量は $84.2 \; \text{g/mol}$、モル蒸発エンタルピーは $29.1 \; \text{kJ/mol}$ です。
(a) 溶媒 X のモル沸点上昇定数 $K_b$ を計算してください。
(b) 非電解質 A を溶媒 X 100 g に 5.00 g 溶かしたところ、沸点が $0.45 \; \text{K}$ 上昇しました。A の分子量を求めてください。
(c) 同じ溶媒 X 100 g に電解質 B（式量 58.4）を 2.92 g 溶かしたところ、沸点が $0.54 \; \text{K}$ 上昇しました。電解質 B の電離度を求めてください。ただし B は水溶液中で2種類のイオンに電離するものとします。
(a) $T_b^* = 61.2 + 273.15 = 334.4 \; \text{K}$、$M_1 = 0.0842 \; \text{kg/mol}$、$\Delta_{\text{vap}}H = 29.1 \times 10^3 \; \text{J/mol}$ です。
$$K_b = \frac{R(T_b^*)^2 M_1}{\Delta_{\text{vap}}H} = \frac{8.314 \times (334.4)^2 \times 0.0842}{29.1 \times 10^3} = \frac{8.314 \times 111800 \times 0.0842}{29100} = \frac{78280}{29100} = 2.69 \; \text{K} \cdot \text{kg/mol}$$
(b) $\Delta T_b = 0.45 \; \text{K}$ より、
$$m = \frac{0.45}{2.69} = 0.167 \; \text{mol/kg}$$
$$n_2 = 0.167 \times 0.100 = 0.0167 \; \text{mol}$$
$$M_2 = \frac{5.00}{0.0167} = 299 \; \text{g/mol}$$
分子量は約 300 です。
(c) B の物質量：$n = 2.92 / 58.4 = 0.0500 \; \text{mol}$
電離しない場合の質量モル濃度：$m_0 = 0.0500 / 0.100 = 0.500 \; \text{mol/kg}$
電離しない場合の沸点上昇：$\Delta T_0 = 2.69 \times 0.500 = 1.345 \; \text{K}$
実際の沸点上昇は $0.54 \; \text{K}$ ですので、見かけの粒子数の倍率 $i$（ファントホッフ因子）は、
$$i = \frac{\Delta T_b}{\Delta T_0} = \frac{0.54}{1.345} = 0.401$$
2種類のイオンに電離するので $\nu = 2$ です。$i = 1 + (\nu - 1)\alpha$ より、
$$0.401 = 1 + (2 - 1)\alpha$$
$$\alpha = 0.401 - 1 = -0.599$$
これは負の値になり、物理的に不合理です。実測値 $0.54 \; \text{K}$ が計算上の非電離の場合（$1.345 \; \text{K}$）より小さいということは、溶媒 X 中では B が会合（分子同士がくっつく）している可能性を示唆しています。
問題の意図に沿って電離度として求めるならば、見かけの質量モル濃度から計算し直します。
$$m_{\text{eff}} = \frac{0.54}{2.69} = 0.201 \; \text{mol/kg}$$
$m_{\text{eff}} = m_0 \times [1 + (\nu - 1)\alpha]$ に $m_0 = 0.500$, $\nu = 2$ を代入すると、$0.201 = 0.500(1 + \alpha)$ より $\alpha = -0.60$ となり、やはり電離は起きていないことを示します。この溶媒では B は電離せず、むしろ会合していると考えられます。
この問題は「電解質は必ず電離する」という先入観を問うものです。NaCl のような塩は水溶液中では電離しますが、非水溶媒では電離しないことがあります。むしろ、イオン対を形成して見かけの粒子数が減る（会合する）こともあります。束一的性質の測定から、溶液中の溶質の状態（電離・会合）について情報が得られることが、この導出の応用上の意義です。